Google ha sacado una herramienta que permite hacer una copia de seguridad de todo lo que tienes almacenado en sus servicios: el correo de Gmail, Calendar, Contactos, Blogger,  Drive, Google Fotos, Lugares de Google Maps, Youtube, y algún otro serficio que ni conocía.

El funcionamiento es tan simple como entrar a la web de Google Takeout:

https://www.google.com/settings/takeout

Y marcar todos los servicios de los que quieres exportar los datos. Te generará un fichero comprimido en ZIP con todo, y te enviará un email con el enlace a este fichero una vez generado. Para el correo de Gmail te enviará el enlace a un fichero con la extensión MBOX, que puedes abrir con el programa Mail, incluído en Mac, o Thunderbird.